MIJN PRIEMEIGENSCHAPPEN

Als (p, q) een priemtweeling is (dat betekent dat p en q priemgetallen zijn die 2 verschillen)
verschillend van de priemtweeling (3, 5)
dan is pq + 1 deelbaar door 36.
Bovendien is het quotiënt van de deling van pq + 1 door 36 een kwadraatgetal.

BEWIJS.

Als p en q voldoen aan de gestelde voorwaarden, 
dan is één van beide getallen een 6-voud + 1 en het andere getal is een 6-voud - 1.
Dan is pq + 1 = (6k - 1)(6k + 1) + 1 = (36k² - 1) + 1 = 36k².

 

Als (p, q) een priemtweeling is (dat betekent dat p en q priemgetallen zijn die 2 verschillen)
verschillend van de priemtweeling (3, 5)
dan is p + 1 deelbaar door 6.

BEWIJS

Alle priemgetallen groter dan 3 zijn oneven. Bijgevolg zijn p en p + 2 oneven en is p + 1 deelbaar door 2.
Bij drie opeenvolgende positieve gehele getallen is er altijd een getal dat deelbaar is door 3
en aangezien p en p + 2 groter zijn dan 3, zijn ze niet deelbaar door 3 zodat p + 1 deelbaar is door 3.
Besluit: p + 2 is een veelvoud van 2 en 3 en dus ook van 6.